Парадокс Монти Холла

— «Видел видео?»
— «Какое?»
— «Я вообще не понимаю как такое возможно…»
И понеслось.


Немного о том, что из себя представляет парадокс:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Источник: Педивикия

Сначала рассмотрим классическую формулировку парадокса, т.е. всего 3 двери.

  Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Менять выбор Не менять выбор
Вариант 1 Автомобиль 🚗 Козел 🐐 Козел 🐐 0 1
Вариант 2 Козел 🐐 Автомобиль 🚗
Козел 🐐 1 0
Вариант 3 Козел 🐐 Козел 🐐 Автомобиль 🚗
1 0
        ≈0.667
≈0.334

Первым делом выбираем дверь. В нашей таблице выбор всегда падает на дверь 1.
Если за первой дверью скрывалась машина, то менять свой выбор явно не стоит. Но такая ситуация встречается лишь один раз. В остальных случаях — смена выбора принесет нам победу. Почему так происходит? Все из-за того, что ведущий откроет дверь с козлом. В вариантах 2 и 3, ведущий тем самым оставит нам дверь в автомобилем. Нам останется (в варианте 2 и 3) сменить выбор на автомобиль.

Т.е. для ситуации, когда мы меняем выбор — у нас две выигрышные позиции (из трех), когда мы не меняем — у нас одна выигрышная позиция . Из чего следует, что вероятность выигрыша, если мы меняем выбор, наивысшая и равна 0.66.

Отлично. С тремя дверями разобрались. Как дела обстоят с 4, 5, 8 … 100?
Чтобы было проще создать модель, по который мы будем вычислять, составим таблицу с четырьмя дверями:

  Дверь 1 Дверь 2 Дверь 3 Дверь 4 Менять выбор Не менять выбор
Вариант 1 Автомобиль 🚗
Козел 🐐 Козел 🐐 Козел 🐐 0 1
Вариант 2 Козел 🐐 Автомобиль 🚗
Козел 🐐 Козел 🐐 0.5 0
Вариант 3 Козел 🐐 Козел 🐐 Автомобиль 🚗
Козел 🐐 0.5 0
Вариант 4 Козел 🐐 Козел 🐐 Козел 🐐 Автомобиль 🚗
0.5 0
          0.375
0.25

Теперь, если автомобиль оказался не за первой дверью (которую мы выбираем), вероятность выиграть стала 0.5. Не сложно посчитать что общая вероятность выиграть теперь:

10.5×3=0.375

Составим формулу, по которой сможем смело вычислять вероятность выигрыша, если мы меняем выбор:

P(A)=1d2×(d1)d

где A — событие выигрыша, d — количество дверей.

Если мы не меняем выбор:

P(A)=1d

А теперь самое интересное. Напишем программу, которая будет проводить вычисления быстро и красиво.

// Вычисление вероятности выигрыша по
// парадоксу Монти Холла
#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
  int doors;
  // Ввод
  printf("Doors: ");
  scanf("%d", &doors);

  // Вычисления
  double q = 1.0f / (doors - 2);

  double a = (q * (doors - 1)) / doors;
  double b = 1.0f / doors;

  // Ответ
  printf("change: %f  /  not change: %f", a, b);
  return 0;
}
// by @mvodya with @ProudKingLion

Немного поигравшись программой, узнаем:

  • Если дверей будет 5, вероятность выиграть при смене выбора: ≈0.2667, при сохранении: 0.2
  • Если дверей будет 8, вероятность выиграть при смене выбора: ≈0.145833, при сохранении: 0.125
  • Если дверей будет 15, вероятность выиграть при смене выбора: ≈0.071795, при сохранении: ≈0.066667
  • Если дверей будет 100, вероятность выиграть при смене выбора: ≈0.010102, при сохранении: 0.01

Из сего выясняем очевидную вещь: чем больше дверей, тем меньше наш выбор влияет на возникновение благоприятного события.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.